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Varianz (Stochastik)

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Dichtefunktionen zweier normalverteilter Zufallsvariablen und mit gleichem Erwartungswert , aber unterschiedlichen Varianzen. Die waagerechte Achse zeigt den Wert, die senkrechte die Häufigkeit. Da die rote Kurve schmaler um den Erwartungswert verläuft als die grüne , weist sie eine geringere Varianz auf (). Die Quadratwurzel der Varianz, die Standardabweichung, kann bei der Normalverteilung an den Wendepunkten abgelesen werden.

Die Varianz (lateinisch variantia für „Verschiedenheit“), veraltet auch Dispersion (lat. dispersio „Zerstreuung“, von dispergere „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“) oder Streuung, ist ein Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsdichte um ihren Schwerpunkt und kann physikalisch als Trägheitsmoment interpretiert werden. Mathematisch stellt die Varianz das zentrale Moment zweiter Ordnung einer Zufallsvariablen dar. Sie wird definiert als die mittlere quadratische Abweichung einer reellen Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Sie ist das Quadrat der Standardabweichung, des wichtigsten Streuungsmaßes in der Stochastik.

Die Varianz ist niemals negativ und ändert sich nicht bei Verschiebung der Verteilung. Die Varianz einer Summe unkorrelierter Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen. Ein Nachteil der Varianz für praktische Anwendungen ist, dass sie im Unterschied zur Standardabweichung eine andere Einheit als die Zufallsvariable besitzt. Da sie über ein Integral definiert wird, existiert sie nicht für alle Verteilungen, d. h. sie kann auch unendlich sein. Die Varianz kann mit einem Varianzschätzer, z. B. der Stichprobenvarianz, geschätzt werden.

Eine Verallgemeinerung der Varianz ist die Kovarianz. Im Unterschied zur Varianz, die die Variabilität der betrachteten Zufallsvariable misst, ist die Kovarianz ein Maß für die gemeinsame Variabilität von zwei Zufallsvariablen. Aus dieser Definition der Kovarianz folgt, dass die Kovarianz einer Zufallsvariable mit sich selbst gleich der Varianz dieser Zufallsvariablen ist. Im Falle eines reellen Zufallsvektors kann die Varianz zur Varianz-Kovarianz-Matrix verallgemeinert werden. Die Bezeichnung „Varianz“ wurde vor allem von dem britischen Statistiker Ronald Fisher (1890–1962) geprägt.

Einführung in die Problemstellung

Als Ausgangspunkt für die Konstruktion der Varianz betrachtet man eine beliebige Größe, die vom Zufall abhängig ist und somit unterschiedliche Werte annehmen kann. Diese Größe, die im Folgenden mit bezeichnet wird, folgt einer bestimmten Verteilung. Der Erwartungswert dieser Größe wird mit

abgekürzt.[A 1] Der Erwartungswert gibt an, welchen Wert die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er kann als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden (siehe auch Abschnitt Interpretation) und gibt ihre Lage wieder. Um eine Verteilung ausreichend zu charakterisieren, fehlt jedoch eine Größe, die als Kennzahl Auskunft über die Stärke der Streuung einer Verteilung um ihren Schwerpunkt gibt.[1] Diese Größe sollte stets größer als Null sein, da sich negative Streuung nicht sinnvoll interpretieren lässt. Ein erster naheliegender Ansatz wäre, die mittlere absolute Abweichung der Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert heranzuziehen:[2]

.

Da die in der Definition der mittleren absoluten Abweichung verwendete Betragsfunktion nicht überall differenzierbar ist und ansonsten in der Statistik für gewöhnlich Quadratsummen benutzt werden,[3][4] ist es sinnvoll, statt der mittleren absoluten Abweichung die mittlere quadratische Abweichung, also die Varianz, zu benutzen.[A 2]

Definition

Sei eine P-integrierbare Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum nach , wobei die Borelsche σ-Algebra über ist, das heißt, es gilt . Unter dieser Voraussetzung existiert ihr Erwartungswert . Die Varianz von ist definiert als der Erwartungswert der Zufallsvariablen

[5]

Für die Varianz gilt . Falls quadratisch integrierbar ist, also gilt, so ist die Varianz endlich. Es gibt Verteilungen wie die Cauchy-Verteilung, für die die Varianz nicht existiert.

Die Varianz wird auch als [A 3] oder notiert. Besteht keine Verwechslungsgefahr, wird sie einfach als (lies: Sigma Quadrat) notiert. Da die Varianz vor allem in älterer Literatur auch als Dispersion beziehungsweise Streuung bezeichnet wurde,[6][7] findet sich auch häufig die Notation .[8] Die Notation mit dem Quadrat des griechischen Buchstaben Sigma rührt daher, dass die Berechnung der Varianz der Dichtefunktion einer Normalverteilung genau dem Parameter der Normalverteilung entspricht. Da die Normalverteilung in der Stochastik eine sehr wichtige Rolle spielt, wird die Varianz im Allgemeinen mit notiert (siehe auch Abschnitt Varianzen spezieller Verteilungen). Des Weiteren wird in der Statistik und insbesondere in der Regressionsanalyse das Symbol dazu benutzt, um die wahre unbekannte Varianz der Störgrößen zu kennzeichnen.

Varianz bei diskreten Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable mit einem endlichen oder abzählbar unendlichen Wertebereich [A 4] wird diskret genannt. Ihre Varianz berechnet sich dann als gewichtete Summe der Abweichungsquadrate (vom Erwartungswert):

.[9]

Hierbei ist die Wahrscheinlichkeit, dass den Wert annimmt. Es wird in obiger Summe also jede mögliche Ausprägung mit der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens gewichtet.[10] Die Varianz ist bei diskreten Zufallsvariablen also eine gewichtete Summe mit den Gewichten . Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable stellt ebenfalls eine gewichtete Summe dar, die durch

gegeben ist. Die Summen erstrecken sich jeweils über alle Werte, die diese Zufallsvariable annehmen kann. Im Falle eines abzählbar unendlichen Wertebereichs ergibt sich eine unendliche Summe. In Worten berechnet sich die Varianz, im diskreten Fall, als Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeiten der Realisierungen der Zufallsvariablen mit der jeweiligen quadrierten Abweichung.

Varianz bei stetigen Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn es eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: Dichte) derart gibt, dass sich die Verteilungsfunktion für alle reellen in der Form darstellen lässt. Für stetige Zufallsvariablen verwendet man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, um Wahrscheinlichkeiten über einem Intervall zu berechnen. Für die Varianz einer stetigen Zufallsvariable gilt

, wobei ihr Erwartungswert gegeben ist durch .[11]

Die Varianz berechnet sich im stetigen Fall als das Integral über das Produkt der quadrierten Abweichung und der Dichtefunktion der Verteilung. Es wird also über den Raum aller möglichen Ausprägungen (möglicher Wert eines statistischen Merkmals) integriert.

Geschichte

Karl Pearson
Ronald Fisher (1913)

Das Konzept der Varianz geht auf Carl Friedrich Gauß zurück. Gauß führte den mittleren quadratischen Fehler ein, um zu zeigen, wie sehr ein Punktschätzer um den zu schätzenden Wert streut. Diese Idee wurde von Karl Pearson, dem Begründer der Biometrie, übernommen. Er ersetzte, für dieselbe Idee, den von Gauß geprägten Begriff mittlerer Fehler durch seinen Begriff Standardabweichung. Diesen verwendet er im Anschluss in seinen Vorlesungen. Der Gebrauch des griechischen Buchstabens Sigma für die Standardabweichung wurde von Pearson, erstmals 1894 in seiner Serie von achtzehn Arbeiten mit dem Titel Mathematische Beiträge zur Evolutionstheorie (Originaltitel: Contributions to the Mathematical Theory of Evolution) eingeführt. Er schrieb dort: „ […] dann wird seine Standardabweichung (Fehler des mittleren Quadrats)“. Im Jahre 1901 gründete Pearson dann die Zeitschrift Biometrika, die eine wichtige Grundlage der angelsächsischen Schule der Statistik wurde.

Die Bezeichnung „Varianz“ wurde vom Statistiker Ronald Fisher in seinem 1918 veröffentlichtem Aufsatz mit dem Titel Die Korrelation zwischen Verwandten in der Annahme der Mendelschen Vererbung (Originaltitel: The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance) eingeführt. Ronald Fisher schreibt:

„Der große Körper der verfügbaren Statistiken zeigt uns, dass die Abweichungen einer menschlichen Messung von ihrem Mittel sehr genau dem Gesetz der Normalverteilung der Störgrößen folgen, und, folglich, dass die Variabilität gleichmäßig durch die Standardabweichung gemessen werden kann, die der Quadratwurzel des mittleren quadratischen Fehlers entspricht. Wenn es zwei unabhängige Ursachen der Variabilität gibt, die in der Lage sind, in einer ansonsten gleichmäßigen Populationsverteilung die Standardabweichungen and zu produzieren, wird festgestellt, dass die Verteilung, wenn beide Ursachen zusammen interagieren, eine Standardabweichung von, aufweist. Es ist daher wünschenswert, die Ursachen der Variabilität zu analysieren, um mit dem Quadrat der Standardabweichung als ein Maß für die Variabilität umzugehen. Wir sollten diese Größe die Varianz taufen […]“

– Die Korrelation zwischen Verwandten in der Annahme der mendelschen Vererbung[12]

Fisher führte kein neues Symbol ein, sondern benutzte lediglich zur Notation der Varianz. In den folgenden Jahren entwickelte er ein genetisches Modell, das zeigt, dass eine kontinuierliche Variation zwischen phänotypischen Merkmalen, die von Biostatistikern gemessen wurde, durch die kombinierte Wirkung vieler diskreter Gene erzeugt werden kann und somit das Ergebnis einer mendelschen Vererbung ist. Auf diesen Resultaten aufbauend formulierte Fisher dann sein fundamentales Theorem der natürlichen Selektion, welches die Gesetzmäßigkeiten der Populationsgenetik für die Zunahme der Fitness von Organismen beschreibt. Zusammen mit Pearson entwickelte er u. a. die Grundlagen der Versuchsplanung (1935 erschien The Design of Experiments) und der Varianzanalyse. Des Weiteren lässt sich die Mehrzahl der biometrischen Methoden auf Pearson und Fisher zurückführen auf deren Grundlage Jerzy Neyman und Egon Pearson in den 30er Jahren die allgemeine Testtheorie entwickelten.[13]

Kenngröße einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung beziehungsweise Zufallsvariable kann durch sogenannte Kenngrößen (auch Parameter genannt) beschrieben werden, die diese Verteilung charakterisieren. Die Varianz und der Erwartungswert sind die wichtigsten Kenngrößen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie werden bei einer Zufallsvariablen als Zusatzinformationen wie folgt angegeben: . In Worten: Die Zufallsvariable folgt einer (hier nicht näher spezifizierten) Verteilung mit Erwartungswert und Varianz . Für den Fall, dass die Zufallsvariable einer speziellen Verteilung folgt, zum Beispiel einer Standardnormalverteilung, wird dies wie folgt notiert: . Der Erwartungswert von ist also Null und die Varianz Eins. Weitere wichtige Kenngrößen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung stellen neben den Momenten beispielsweise der Median, der Modus oder Quantile dar.[14] Die Kenngrößen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung entsprechen in der deskriptiven Statistik den Kenngrößen einer Häufigkeitsverteilung.

Tschebyscheffsche Ungleichung

Mithilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung lässt sich unter Verwendung der existierenden ersten beiden Momente die Wahrscheinlichkeit dafür abschätzen, dass die Zufallsvariable Werte in bestimmten Intervallen der reellen Zahlengeraden annimmt, ohne jedoch die Verteilung von zu kennen. Sie lautet für eine Zufallsvariable mit Erwartungswert und Varianz :[15]

.

Die Tschebyscheffsche Ungleichung gilt für alle symmetrischen sowie schiefen Verteilungen. Sie setzt also keine besondere Verteilungsform voraus. Ein Nachteil der Tschebyscheffschen Ungleichung ist, dass sie nur eine grobe Abschätzung liefert.

Interpretation

Physikalische Interpretation

Die Varianz ist neben dem Erwartungswert die zweite wichtige Kenngröße der Verteilung einer reellen Zufallsvariable. Das -te zentrale Moment von ist . Wenn , dann wird das zentrale Moment zweiter Ordnung Varianz der Verteilung von genannt.[16] Der Begriff Moment stammt originär aus der Physik. Wenn man die möglichen Werte als Massepunkte mit den Massen auf der (als gewichtslos angenommenen) reellen Zahlengeraden interpretiert, dann erhält man eine physikalische Interpretation des Erwartungswertes: Das erste Moment, der Erwartungswert, stellt dann den physikalischen Schwerpunkt beziehungsweise Massenmittelpunkt des so entstehenden Körpers dar.[17] Die Varianz kann dann als Trägheitsmoment des Massesystems bezüglich der Rotationsachse um den Schwerpunkt interpretiert werden.[18] Im Gegensatz zum Erwartungswert, der also die Wahrscheinlichkeitsmasse balanciert, ist die Varianz ein Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsmasse um ihren Erwartungswert.

Interpretation als Distanz

Die Interpretation der Varianz einer Zufallsvariablen als mittlere quadrierte Distanz lässt sich wie folgt erklären: Die Distanz zwischen zwei Punkten und auf der reellen Zahlengeraden ist gegeben durch . Wenn man jetzt definiert, dass ein Punkt die Zufallsvariable ist und der andere , dann gilt , und die quadrierte Distanz lautet . Folglich wird als die mittlere quadrierte Distanz zwischen der Realisierung der Zufallsvariablen und dem Erwartungswert interpretiert, wenn das Zufallsexperiment unendlich oft wiederholt wird.[19]

Interpretation als Maß für Determinismus

Dichtefunktionen normalverteilter Zufallsvariablen mit unterschiedlichen Erwartungswerten und Varianzen. Zu sehen ist, dass der Erwartungswert die Lage und Varianz die Breite der Dichtefunktion wiedergibt. Die rote Kurve zeigt die Standardnormalverteilung mit Erwartungswert Null und Varianz Eins.

Die Varianz beschreibt außerdem die Breite einer Wahrscheinlichkeitsfunktion[20] und daher wie „stochastisch“ oder wie „deterministisch“ ein betrachtetes Phänomen ist. Bei einer großen Varianz liegt eher eine stochastische Situation vor und bei einer kleinen Varianz eher eine deterministische.[21] Im Spezialfall einer Varianz von Null liegt eine vollständig deterministische Situation vor. Die Varianz ist genau dann Null, wenn die Zufallsvariable mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit nur einen bestimmen Wert, nämlich den Erwartungswert, annehmen kann; wenn also gilt. Solch eine „Zufallsvariable“ ist eine Konstante, also vollständig deterministisch. Da für eine Zufallsvariable mit dieser Eigenschaft für alle gilt, bezeichnet man ihre Verteilung als „entartet“.[22]

Im Gegensatz zu diskreten Zufallsvariablen gilt für stetige Zufallsvariablen stets für jedes .[23] Im stetigen Fall beschreibt die Varianz die Breite einer Dichtefunktion. Die Breite wiederum ist ein Maß für die Unsicherheit, die mit einer Zufallsvariable verbunden ist. Je schmaler die Dichtefunktion ist, desto genauer kann der Wert von vorhergesagt werden.

Rechenregeln und Eigenschaften

Die Varianz weist eine Fülle nützlicher Eigenschaften auf, welche die Varianz zum wichtigsten Streuungsmaß macht:[24]

Verschiebungssatz

Die Varianz als zentrales, auf den Erwartungswert (das „Zentrum“) bezogenes Moment lässt sich mittels des Verschiebungssatzes auch als nicht-zentrales Moment ausdrücken:

denn es gilt unter Ausnutzung der Linearität des Erwartungswertes:

.[25]

Aus dem Verschiebungssatz folgt wegen der Nichtnegativitätsbedingung der Varianz, dass ; somit ist . Dieses Resultat ist ein Spezialfall der jensenschen Ungleichung für Erwartungswerte. Der Verschiebungssatz beschleunigt die Berechnung der Varianz, da der dazu nötige Erwartungswert von zusammen mit gebildet werden kann, während sonst bereits bekannt sein muss – konkret für diskrete beziehungsweise stetige Zufallsvariablen liefert er:

Falls diskret Falls stetig

Lineare Transformation

Für zwei Konstanten gilt:

  • Die Varianz einer Konstanten ist Null, da Konstanten per Definition nicht zufällig sind und somit auch nicht streuen: ;
  • Translationsinvarianz: Für additive Konstanten gilt . Dies bedeutet, dass eine „Verschiebung der Zufallsvariablen“ um einen konstanten Betrag keine Auswirkung auf deren Streuung hat.
  • Im Gegensatz zu additiven Konstanten haben multiplikative Konstanten eine Auswirkung auf die Skalierung der Varianz. Bei multiplikativen Konstanten wird die Varianz mit der quadrierten der Konstanten, also , skaliert.[26] Dies kann wie folgt gezeigt werden:
.

Hierbei wurde die Eigenschaft der Linearität des Erwartungswertes benutzt. Zusammengefasst ergibt die Varianzbildung einer linearen transformierten Zufallsvariable :

.

Insbesondere für folgt , das heißt, das Vorzeichen der Varianz ändert sich nicht, wenn sich das Vorzeichen der Zufallsvariablen ändert.

Jede Zufallsvariable kann durch Zentrierung und anschließende Normierung, genannt Standardisierung, in eine Zufallsvariable überführt werden. Diese Normierung ist eine lineare Transformation. Die derart standardisierte Zufallsvariable weist eine Varianz von und einen Erwartungswert von auf.

Beziehung zur Standardabweichung

Die Varianz einer Zufallsvariable wird immer in Quadrateinheiten angegeben.[27] Dies ist problematisch, weil quadrierte Einheiten, die auf diesem Wege zustande kommen – wie zum Beispiel –, keine sinnvolle Interpretation bieten; die Interpretation als Flächenmaß ist im vorliegenden Beispiel unzulässig. Um die gleiche Einheit wie die Zufallsvariable zu erhalten, wird daher statt der Varianz i. d. R. die Standardabweichung verwendet. Sie hat die gleiche Einheit wie die Zufallsvariable selbst und misst somit, bildlich gesprochen, „mit dem gleichen Maß“.

Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel aus der Varianz[28][29]

.

Sie wird als (gelegentlich auch als ), , oder einfach als (Sigma) notiert. Ferner eignet sich die Standardabweichung zur Quantifizierung von Unsicherheit bei Entscheidungen unter Risiko, weil sie, im Unterschied zur Varianz, den Anforderungen an ein Risikomaß genügt.

Bei einigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere der Normalverteilung, können aus der Standardabweichung direkt Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. So befinden sich bei der Normalverteilung immer ca. 68 % der Werte im Intervall von der Breite von zwei Standardabweichungen um den Erwartungswert. Beispiel hierfür ist die Körpergröße: Sie ist für eine Nation und Geschlecht annähernd normalverteilt, so dass z. B. in Deutschland 2006 ca. 68 % aller Männer etwa zwischen 171 und 186 cm groß waren (ca. , also „Erwartungswert plus/minus Standardabweichung“).[30]

Für die Standardabweichung gilt für jede Konstante , . Im Gegensatz zur Varianz gilt für die Standardabweichung die Rechenregel mit für lineare Transformationen, das heißt die Standardabweichung wird im Gegensatz zur Varianz nicht mit dem Quadrat der Konstanten skaliert. Insbesondere gilt für , .

Beziehung zur Kovarianz

Im Gegensatz zur Varianz, die lediglich die Variabilität der betrachteten Zufallsvariable misst, misst die Kovarianz die gemeinsame Variabilität von zwei Zufallsvariablen. Die Varianz ist demnach die Kovarianz einer Zufallsvariable mit sich selbst . Diese Beziehung folgt direkt aus der Definition der Varianz und Kovarianz. Die Kovarianz zwischen und wird auch mit abgekürzt. Außerdem gilt, da die Kovarianz eine positiv semidefinite Bilinearform ist, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:

.

Diese Ungleichung gehört zu den bedeutendsten in der Mathematik und findet vor allem in der linearen Algebra Anwendung.

Summen und Produkte

Für die Varianz einer beliebigen Summe von Zufallsvariablen gilt allgemein:[31][32]

.

Hierbei bezeichnet die Kovarianz der Zufallsvariablen und und es wurde die Eigenschaft verwendet. Berücksichtigt man das Verhalten der Varianz bei linearen Transformationen, dann gilt für die Varianz der Linearkombination, beziehungsweise der gewichteten Summe, zweier Zufallsvariablen:

.

Speziell für zwei Zufallsvariablen , und ergibt sich beispielsweise

.[33]

Dies bedeutet, dass die Variabilität der Summe zweier Zufallsvariablen der Summe der einzelnen Variabilitäten und dem zweifachen der gemeinsamen Variabilität der beiden Zufallsvariablen ergibt.

Ein weiterer Grund, warum die Varianz anderen Streuungsmaßen vorgezogen wird, ist die nützliche Eigenschaft, dass die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen der Summe der Varianzen entspricht:

.[34][35]

Dies resultiert daraus, dass bei unabhängigen Zufallsvariablen gilt. Diese Formel lässt sich auch verallgemeinern: Wenn paarweise unkorrelierte Zufallsvariablen sind (das heißt ihre Kovarianzen sind alle gleich Null), gilt

,

oder allgemeiner mit beliebigen Konstanten

.

Dieses Resultat wurde 1853 vom französischen Mathematiker Irénée-Jules Bienaymé entdeckt und wird daher auch als Gleichung von Bienaymé bezeichnet.[36][37] Sie gilt insbesondere dann, wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind, denn aus Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit. Wenn alle Zufallsvariablen die gleiche Varianz haben, bedeutet dies für die Varianzbildung des Stichprobenmittels:

.

Man kann erkennen, dass die Varianz des Stichprobenmittels sinkt, wenn der Stichprobenumfang steigt. Diese Formel für die Varianz des Stichprobenmittels wird bei der Definition des Standardfehlers des Stichprobenmittels benutzt, welcher im zentralen Grenzwertsatz angewendet wird.

Sind zwei Zufallsvariablen and unabhängig, dann ist die Varianz ihres Produktes gegeben durch[38]

.

Zusammengesetzte Zufallsvariable

Ist eine zusammengesetzte Zufallsvariable, d. h. sind unabhängige Zufallsvariablen, sind die identisch verteilt und ist auf definiert, so lässt sich darstellen als . Existieren die zweiten Momente von , so gilt für die zusammengesetzte Zufallsvariable:

.

Diese Aussage ist auch als Blackwell-Girshick-Gleichung bekannt.

Momenterzeugende und kumulantenerzeugende Funktion

Mithilfe der momenterzeugenden Funktion lassen sich Momente wie die Varianz häufig einfacher berechnen. Die momenterzeugende Funktion ist definiert als Erwartungswert der Funktion . Da für die momenterzeugende Funktion [39] der Zusammenhang

gilt, lässt sich die Varianz, durch den Verschiebungssatz, damit auf folgende Weise berechnen:

.

Hierbei ist die momenterzeugende Funktion und die -te Ableitung dieser. Die kumulantenerzeugende Funktion einer Zufallsvariable ergibt sich als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion und ist definiert als:

.

Leitet man sie zweimal ab und wertet sie an der Stelle Null aus, so erhält man für die Varianz . Die zweite Kumulante ist also die Varianz.

Charakteristische und wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Die Varianz einer Zufallsvariable lässt sich auch mit Hilfe ihrer charakteristischen Funktion darstellen. Wegen

und folgt nämlich mit dem Verschiebungssatz:
.[40]

Auch mit der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion , die in Beziehung zur charakteristische Funktion steht lässt sich für diskrete die Varianz berechnen. Es gilt dann für die Varianz , falls der linksseitige Grenzwert existiert.

Varianz als mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert

Im Falle einer diskreten Zufallsvariable mit abzählbar endlichem Träger ergibt sich die Varianz der Zufallsvariable als

.

Hierbei ist die Wahrscheinlichkeit, dass den Wert annimmt. Diese Varianz kann als eine gewichtete Summe der Werte gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten interpretiert werden.

Falls gleichverteilt auf ist (), gilt für den Erwartungswert, dass er gleich dem arithmetischen Mittel ist (siehe Gewichtetes arithmetisches Mittel als Erwartungswert):

Folglich wird die Varianz zum arithmetischen Mittel der Werte :

.

D. h., die Varianz ist bei Gleichverteilung gerade die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert bzw. die Stichprobenvarianz .

Varianzen spezieller Verteilungen

In der Stochastik gibt es eine Vielzahl von Verteilungen, die meist eine unterschiedliche Varianz aufweisen und oft in Beziehung zueinander stehen. Die Varianz der Normalverteilung ist von großer Bedeutung, da die Normalverteilung in der Statistik eine außerordentliche Stellung einnimmt. Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, dem zufolge Verteilungen, die durch Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind. Eine Auswahl wichtiger Varianzen ist in nachfolgender Tabelle zusammengefasst:

Verteilung Stetig/diskret Wahrscheinlichkeitsfunktion Varianz
Normalverteilung Stetig
Cauchy-Verteilung Stetig existiert nicht
Bernoulli-Verteilung Diskret
Binomialverteilung Diskret
Stetige Gleichverteilung Stetig
Poisson-Verteilung Diskret

Beispiele

Berechnung bei diskreten Zufallsvariablen

Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable , welche die Werte , und mit je den Wahrscheinlichkeiten , und annimmt. Diese Werte lassen sich in folgender Tabelle zusammenfassen

Der Erwartungswert beträgt nach obiger Definition

.

Die Varianz ist demnach gegeben durch

.

Mit dem Verschiebungssatz erhält man ebenfalls den gleichen Wert für die Varianz:

.

Für die Standardabweichung ergibt sich damit:

.

Berechnung bei stetigen Zufallsvariablen

Eine stetige Zufallsvariable habe die Dichtefunktion

,

mit dem Erwartungswert von

und dem Erwartungswert von

.

Die Varianz dieser Dichtefunktion berechnet sich mit Hilfe des Verschiebungssatzes wie folgt:

.

Stichprobenvarianz als Schätzer für die Varianz

Seien reelle unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert und der endlichen Varianz . Ein Schätzer für den Erwartungswert stellt das Stichprobenmittel dar, da nach dem Gesetz der großen Zahlen gilt:

.

Es wird im Folgenden ein Schätzer für die Varianz gesucht. Ausgehend von definiert man sich die Zufallsvariablen . Diese sind unabhängig und identisch verteilt mit dem Erwartungswert . Ist nun quadratisch integrierbar, dann ist das schwache Gesetz der großen Zahlen anwendbar, und es gilt:

.

Wenn man nun durch ersetzt, liefert dies die sogenannte Stichprobenvarianz. Aus diesem Grund stellt wie oben gezeigt die Stichprobenvarianz

eine induktive Entsprechung der Varianz im stochastischen Sinne dar.[41]

Bedingte Varianz

Analog zu bedingten Erwartungswerten lassen sich beim Vorliegen von Zusatzinformationen, wie beispielsweise den Werten einer weiteren Zufallsvariable, bedingte Varianzen bedingter Verteilungen betrachten. Es seien und zwei reelle Zufallsvariablen, dann heißt die Varianz von , die auf konditioniert ist

[42]

die bedingte Varianz von gegeben (oder Varianz von bedingt auf ).[43] Um die „gewöhnliche “ Varianz stärker von der bedingten Varianz zu unterscheiden, spricht man bei der gewöhnlichen Varianz auch von der unbedingten Varianz.

Verallgemeinerungen

Varianz-Kovarianz-Matrix

Im Falle eines reellen Zufallsvektors mit dem dazugehörigen Erwartungswertvektor[44] verallgemeinert sich die Varianz beziehungsweise Kovarianz zu der symmetrischen Varianz-Kovarianz-Matrix (oder einfach Kovarianzmatrix) des Zufallsvektors:

.[45]

Der Eintrag der -ten Zeile und -ten Spalte der Varianz-Kovarianz-Matrix ist die Kovarianz der Zufallsvariablen und und in der Diagonale stehen die Varianzen .[46] Da die Kovarianzen ein Maß für die Korrelation zwischen Zufallsvariablen darstellen und die Varianzen lediglich ein Maß für die Variabilität, enthält die Varianz-Kovarianz-Matrix Informationen über die Streuung und Korrelationen zwischen all seinen Komponenten. Da die Varianzen und Kovarianzen per Definition stets nicht-negativ sind, gilt analog für die Varianz-Kovarianz-Matrix, dass sie positiv semidefinit ist.[47] Die Varianz-Kovarianz-Matrix dient bei der Beurteilung von Schätzern als Effizienzkriterium. Im Allgemeinen gilt, dass sich die Effizienz eines Parameterschätzers anhand der „Größe“ seiner Varianz-Kovarianz-Matrix messen lässt. Es gilt: Je „kleiner“ die Varianz-Kovarianz-Matrix, desto „größer“ die Effizienz des Schätzers.

Matrixnotation für die Varianz einer Linearkombination

Es sei ein Spaltenvektor von Zufallsvariablen , und ein Spaltenvektor bestehend aus Skalaren . Dies bedeutet, dass eine Linearkombination dieser Zufallsvariablen ist, wobei die Transponierte von bezeichnet. Sei die Varianz-Kovarianz-Matrix von . Die Varianz von ist dann gegeben durch:

.[48]

Verwandte Maßzahlen

Fasst man die Varianz als Streuungsmaß der Verteilung einer Zufallsvariable auf, so ist sie mit den folgenden Streuungsmaßen verwandt:

Weblinks

 Wikibooks: Varianz und Standardabweichung – Lern- und Lehrmaterialien
 Commons: Standardabweichung – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
 Commons: Varianz – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Varianz – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Literatur

  • George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0471624141, second edition 1988
  • Ludwig Fahrmeir u. a.: Statistik: Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer-Verlag, 2016, ISBN 978-3-662-50371-3.

Anmerkungen

  1. Bei einer symmetrischen Verteilung mit dem Symmetriezentrum gilt: .
  2. Weitere Vorteile des Quadrierens sind zum einen, dass kleine Abweichungen weniger stark gewichtet werden als große Abweichungen, und zum anderen, dass die erste Ableitung eine lineare Funktion ist, was bei Optimierungsüberlegungen von Vorteil ist.
  3. Die Verwendung des Varianzoperators hebt die Berechnungsoperationen hervor, und mit ihm lässt sich die Gültigkeit bestimmter Rechenoperationen besser ausdrücken.
  4. Mit der Bezeichnung „Träger“ und dem Zeichen bezeichnet man die Menge aller möglichen Ausprägungen beziehungsweise Realisierungen einer Zufallsvariablen.

Einzelnachweise

  1. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 2016, S. 160.
  2. Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6. durchges. u. aktualisierte Aufl. 2013, S. 28.
  3. Volker Heun: Grundlegende Algorithmen: Einführung in den Entwurf und die Analyse effizienter Algorithmen. 2. Auflage. 2003, S. 108.
  4. Gerhard Hübner: Stochastik: Eine Anwendungsorientierte Einführung für Informatiker, Ingenieure und Mathematiker. 3. Auflage, 2002, S. 103.
  5. Patrick Billingsley: Probability and Measure, 3. Aufl., Wiley, 1995, S. 274ff
  6. Otfried Beyer, Horst Hackel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 53.
  7. Brockhaus: Brockhaus, Naturwissenschaften und Technik – Sonderausgabe. 1989, S. 188.
  8. Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 1994, S. 338.
  9. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 231.
  10. Von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. 6. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-40209-8, S. 29.
  11. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 283.
  12. Ronald Aylmer Fisher: The correlation between relatives on the supposition of Mendelian inheritance., Trans. Roy. Soc. Edinb. 52: 399-433, 1918.
  13. Lothar Sachs: Statistische Auswertungsmethoden. 1968,1. Auflage, S. 436.
  14. Otfried Beyer, Horst Hackel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 58.
  15. Otfried Beyer, Horst Hackel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 101.
  16. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0471624141, second edition 1988, S. 40.
  17. Hans-Otto Georgii: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, ISBN 978-3-11035970-1, S. 102 (abgerufen über De Gruyter Online).
  18. Hans-Heinz Wolpers: Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 3: Didaktik der Stochastik. Jahr?, S. 20.
  19. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0471624141, second edition 1988, S. 40.
  20. W. Zucchini, A. Schlegel, O. Nenadíc, S. Sperlich: Statistik für Bachelor- und Masterstudenten. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-88986-1, S. 121.
  21. W. Zucchini, A. Schlegel, O. Nenadíc, S. Sperlich: Statistik für Bachelor- und Masterstudenten. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-88986-1, S. 123.
  22. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 232.
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Dieser Artikel wurde am 20. November 2017 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen.