Symmetrischer Kreisel

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Der symmetrische Kreisel ist in der Kreiseltheorie ein Kreisel mit zwei gleichen Hauptträgheitsmomenten[1]. Typische symmetrische Kreisel sind der Lagrange-Kreisel und viele Spielzeugkreisel. Ein wichtiger Spezialfall sind homogene Rotationskörper, die bezüglich der auf der Figurenachse liegenden Bezugspunkte symmetrische Kreisel abgeben.

Symmetrische Kreisel finden vielfache Anwendungen in der Stabilisierung von Schiffen (Schiffskreisel), Raumflugkörpern, Kreiselinstrumenten und Trägheitsnavigationssystemen sowie in der Astronomie und Ballistik.

Allgemeines

Jeder Starrkörper besitzt drei Hauptträgheitsmomente und drei dazugehörige Hauptträgheitsachsen oder kurz Hauptachsen, die sich aus der Lösung des Eigenwertproblems des Trägheitstensors ermitteln. Ein Kreisel mit drei gleichen Hauptträgheitsmomenten ist ein spezieller symmetrischer Kreisel und wird Kugel- oder sphärischer Kreisel genannt. Ein unsymmetrischer Kreisel besitzt drei verschiedene Hauptträgheitsmomente.

Die Figurenachse ê3 ist beim symmetrischen Kreisel seine Symmetrieachse bezüglich der er das dritte Hauptträgheitsmoment besitzt. Die Hauptachsen ê1,2 mit den beiden übereinstimmenden Hauptträgheitsmomenten sind senkrecht zur Figurenachse und dort beliebig orientiert. Es werden zwei Achsen ausgewählt, sodass die Hauptachsen ê1,2,3 ein rechtshändiges Orthonormalsystem bilden.

Die Symmetrie verlangt nicht, dass der Kreiselkörper irgendwie im geometrischen Sinn symmetrisch wäre. Insbesondere ist die Symmetrie nach dem Steinerʹschen Satz vom Bezugspunkt abhängig. Ein Kreisel kann bezüglich eines Punkts ein symmetrischer und bezüglich eines anderen ein unsymmetrischer sein.

Die Symmetrie des Kreisels ist von der Lage des Massenmittelpunkts unabhängig. So sind der Kowalewskaja-Kreisel und der Goryachew-Chaplygin-Kreisel mit einem abseits der Figurenachse gelegenen Massenmittelpunkt trotzdem symmetrische Kreisel.

Hauptträgheitsmomente

Der symmetrische Kreisel hat ein doppeltes Hauptträgheitsmoment A und ein drittes C. Bei einem Starrkörper erfüllen sie die Dreiecksungleichungen

A + C > A und A + A > C

siehe Trägheitsmoment. Während die erste Ungleichung immer zutrifft bedeutet die zweite C < 2A oder umgekehrt A > C/2. Dann kann es einen symmetrischen Kreisel mit den Hauptträgheitsmomenten A und C geben.

Drallstabilisierung

Abb. 1: Schwungrad zur Erläuterung der Kreiselwirkung

Eine der technisch wertvollsten Eigenschaften von symmetrischen Kreiseln ist die Möglichkeit, mit ihnen Körper in ihrer räumlichen Ausrichtung zu stabilisieren. Dies wird, wie schon eingangs erwähnt, bei Schiffen, Raumflugkörpern und Geschossen ausgenutzt. Die Drallstabilisierung basiert auf Kreiselwirkungen.

Um das zu erläutern, wird die Bewegung des in Abb. 1 dargestellten Schwungrads betrachtet, bei dem der Massenmittelpunkt im Koordinatenursprung drehbar fixiert ist und die Figurenachse (anfänglich in y-Richtung) frei ist, sodass sie ihre Richtung beliebig ändern kann. Auf dieses ansonsten kräftefreie Schwungrad wirke eine kurze Zeit in z-Richtung ein konstantes Moment Mz, das das Schwungrad in Drehung um z versetzt. Diese Drehung macht sich am ruhenden und rotierenden Schwungrad jedoch unterschiedlich bemerkbar:

  1. Ruht das Schwungrad, dann beginnt es durch das Moment um z zu rotieren. Nachdem das Moment aufgehört hat zu wirken, verharrt das Schwungrad in der Drehung um z, es gibt keine Kreiselwirkung und der Drehwinkel ψ der Figurenachse um z nimmt monoton zu und ist unbeschränkt. Die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls haben nur eine Komponente und die weist in z-Richtung. Der Neigungswinkel ϑ zwischen Figurenachse und Momentenachse z bleibt unverändert.
  2. Rotiert das Schwungrad anfänglich hinreichend schnell um die Figurenachse, dann zeigt sich ein anderes Bild. Zwar führt das Moment auch hier zu einer linearen Zunahme des Drehimpulses in z-Richtung, aber weil sich diese Komponente zum anfänglichen (als viel größer angenommenen) Drehimpuls in y-Richtung vektoriell addiert, der Drehimpuls also weiter vor allem in y-Richtung orientiert ist, und Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit einen spitzen Winkel einschließen (siehe Trägheitsellipsoid), dreht das Schwungrad weiter vor allem um die y-Achse. Dadurch bleibt der Drehwinkel ψ der Figurenachse um z beschränkt. Nach der Regel des gleichsinnigen Parallelismus versucht der Kreisel seine Drehung dem angreifenden Moment anzugleichen, wodurch der Winkel ϑ abnimmt.

Ursache für den geringen Einfluss des Moments auf die Drehung des rotierenden Schwungrads um z sind Trägheitskräfte, die, wie im Folgenden geschildert, Gegenmomente aufbauen. Dabei wird der übliche Fall voraus gesetzt, dass das Schwungrad ein oblater Kreisel ist, sein Trägheitsmoment C um die Figurenachse also größer ist als die äquatorialen Trägheitsmomente A. Andernfalls wären die Kreiselwirkungen in x-Richtung umgekehrt orientiert. Anders als im Bild soll der Winkel ψ von der y-Achse aus zählen und es wird der vom Drallsatz bekannte Zusammenhang M = L ω benutzt, demgemäß ein Moment M zur Drehgeschwindigkeit ω eines zu ihm senkrechten Drehimpulses L führt und umgekehrt eine solche Drehung eine Kreiselwirkung hervor ruft.

  1. Das kleine Moment Mz dreht das Schwungrad mit Drehimpuls L in y-Richtung zunächst (langsam) um die z-Achse und der Winkel ψ zur Figurenachse nimmt gemäß der Beschleunigungsgleichung zu. Der Beschleunigungsterm ist eine Kreiselwirkung in -z-Richtung, die sich aus Euler-Kräften speist.
  2. So bekommt die Winkelgeschwindigkeit eine kleine Komponente in z-Richtung und die Neigung ϑ der Drehachse gegenüber der Vertikalen verringert sich entsprechend . Diese Winkelbeschleunigung um x zieht Euler-Kräfte nach sich, die in Summe eine Kreiselwirkung in -x-Richtung hervor bringen.
  3. In gleicher Weise wie das Moment Mz die Kreiselwirkung in -x-Richtung hervor ruft, so entsteht durch letztere eine weitere Kreiselwirkung in -z-Richtung, die der Beschleunigungsgleichung im ersten Schritt hinzu zu fügen ist: .
  4. Ganz analog wie das Moment Mz eine entgegengesetzte Kreiselwirkung auslöst, besitzt auch die Kreiselwirkung in -x-Richtung eine Widersacherin in +x-Richtung, die sich aus den Zentrifugalkräften im Schwungrad speist und die ebenfalls zur Kreiselwirkung in -z-Richtung beiträgt.

Während sich die Kreiselwirkungen in -z-Richtung ( und ) genau zu Mz summieren, löschen sich die Kreiselwirkungen in x- und y-Richtung genau aus. Das Moment der Euler-Kräfte ist dort antiparallel zum Moment der Zentrifugalkräfte. Auf diese Weise bleiben die Drehimpulse in x- und y-Richtung gegenüber dem Anfangszustand unverändert.

Die im dritten Schritt erhaltene Gleichung für die Winkelbeschleunigung ist eine Schwingungsgleichung, weswegen die Figurenachse unter dem Moment in z-Richtung eine Schwingung um z ausführt. Mit dem konstanten Drehimpuls in y-Richtung lautet die Schwingungsgleichung

Darin ist φ der Drehwinkel um die Figurenachse. Die Eigenkreisfrequenz der Schwingung der Figurenachse um die z-Achse ist demnach proportional zum Verhältnis der Trägheitsmomente und zur Winkelgeschwindigkeit um die Figurenachse. Die Schwingungsgleichung ist eine Näherung, die nur bei kleiner Auslenkung ψ gültig ist. Aus kann mit ψ auch ϑ berechnet werden.

Für die stabilisierende Kreiselwirkung ist dabei die freie Drehungsmöglichkeit der Figurenachse um die äquatorialen Achsen entscheidend. Wird die Drehachse durch Lager an die xy-Ebene gebunden, können die Momente der Trägheitskräfte nicht ihr Potenzial entfalten und es tritt keine Drallstabilisierung auf[2].

Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls

Beim symmetrischen Kreisel kann die Winkelgeschwindigkeit vorteilhaft mit dem Drehimpuls ausgedrückt werden[3]:

Hier bezeichnen

  • ê1,2,3 die Hauptachsen,
  • die Winkelgeschwindigkeit,
  • p, q, r = ω1,2,3 die Winkelgeschwindigkeiten im Hauptachsensystem,
  • A, C die Hauptträgheitsmomente in 1-/2- bzw. 3-Richtung,
  • den Drehimpuls,
  • den Drehimpuls in 3-Richtung und im Folgenden
  • „ד das Kreuzprodukt und „·“ das Skalarprodukt.

Beim symmetrischen Kreisel sind der Drehimpuls, die Winkelgeschwindigkeit und die Figurenachse immer komplanar:

Aus dem Drallsatz ergibt sich weiters:

Darin bildet die relative Zeitableitung im Hauptachsensystem. Wenn das äußere Moment keine Komponente in Richtung der Figurenachse hat, was beim symmetrischen Euler-Kreisel, beim Lagrange-Kreisel und bei der regulären Präzession um die Vertikale der Fall ist, dann ist die Eigendrehung um die Figurenachse zeitlich konstant.

Reguläre Präzession um die Lotrichtung

Abb. 2: Reguläre Präzession eines symmetrischen Kreisels

Der symmetrische Kreisel führt wie in der Animation eine reguläre Präzession um die Lotrichtung aus, wenn die Figurenachse konstant geneigt ist und auf den Kreisel nur ein Moment in Knotenrichtung wirkt, die senkrecht zur Lotrichtung und der Figurenachse ist.

Die senkrechte Gewichtskraft bringt auf den schweren Kreisel dauerhaft ein dementsprechendes Moment auf, wenn der Massenmittelpunkt auf der Figurenachse liegt. Die Nutation des symmetrischen Euler-Kreisels kann als momentenfreier Spezialfall aufgefasst werden, wenn die Vertikale parallel zum Drehimpuls ausgerichtet wird.

Neben der erzeugenden Lotrichtung und Figurenachse liegen auch die Winkelgeschwindigkeit sowie der Drehimpuls in der Präzessionsebene, was nur dann beim schweren Kreisel dauerhaft gewährleistet ist, wenn der Drehimpuls eine bestimmte Bedingung erfüllt. Der schwere Kreisel kann eine Präzession mit horizontaler Figurenachse ausführen. Der aufrechte, schnelle, schwere Kreisel kann mit jeder, nach oben weisenden Figurenachse zwei verschieden rasche Präzessionen ausführen, die gleichsinnig zur Eigendrehgeschwindigkeit sind, wohingegen der zu langsame Kreisel das nicht bei jeder Neigung kann. Der hängende Kreisel kann mit beliebig nach unten geneigter Figurenachse zwei Präzessionen mit unterschiedlichem Drehsinn ausführen.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Magnus (1971), S. 20, Grammel (1920), S. 39, siehe Literatur.
  2. Klein und Sommerfeld (1910), S. 767f.
  3. Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 335.

Literatur